Los Teoremas Fundamentales del Cálculo (TFC) son la piedra angular que conecta los dos conceptos principales del cálculo: la diferenciación y la integración, mostrando que son operaciones inversas la una de la otra.

Primer Teorema Fundamental del Cálculo (TFC1)

Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces la función G definida por:

G(x) = ∫_a^x f(t) dt

es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), y su derivada es f(x). Es decir:

G'(x) = d/dx [∫_a^x f(t) dt] = f(x)

Este teorema es increíblemente poderoso. Afirma que la tasa de cambio del área acumulada bajo una curva f en un punto x es simplemente el valor de la propia curva f en ese punto x.

Segundo Teorema Fundamental del Cálculo (TFC2)

Si f es una función continua en [a, b] y F es cualquier antiderivada (o primitiva) de f (es decir, F'(x) = f(x)), entonces:

∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

Esta es la herramienta fundamental que utilizamos para calcular integrales definidas. Nos libera de la necesidad de calcular límites de sumas de Riemann, permitiéndonos en su lugar encontrar una antiderivada y simplemente evaluarla en los límites de integración.

Teorema del Valor Medio para Integrales

Si f es continua en [a, b], entonces existe un número c en [a, b] tal que:

∫_a^b f(x) dx = f(c) * (b - a)

Geométricamente, esto significa que siempre hay un punto c en el intervalo tal que el área del rectángulo de altura f(c) y ancho (b-a) es exactamente igual al área bajo la curva de f(x) desde a hasta b. El valor f(c) se conoce como el valor promedio o valor medio de la función en el intervalo.