El método de cambio de variable, o sustitución, es una de las herramientas más poderosas para resolver integrales. Esencialmente, es la regla de la cadena de la diferenciación a la inversa.

Para Integrales Indefinidas

Si tenemos una integral de la forma ∫ f(g(x))g'(x) dx, podemos simplificarla mediante la sustitución:

1. Se elige una sustitución, u = g(x). La elección de u suele ser la "función interna" del integrando compuesto.
2. Se calcula el diferencial de u: du = g'(x) dx.
3. Se reescribe la integral completamente en términos de u, reemplazando tanto g(x) como g'(x)dx. La integral se transforma en ∫ f(u) du.
4. Se resuelve la integral en términos de u.
5. Se sustituye de nuevo u = g(x) para que el resultado final quede en términos de la variable original, x.

Para Integrales Definidas

El proceso es similar, pero con un paso adicional crucial: transformar los límites de integración. Si integramos de x=a hasta x=b, los nuevos límites serán u=g(a) hasta u=g(b).

∫_a^b f(g(x))g'(x) dx = ∫_g(a)^g(b) f(u) du

La gran ventaja aquí es que, una vez transformada la integral y los límites, no es necesario volver a sustituir la variable original. Se evalúa la integral de u directamente con los nuevos límites.