Construcción de la Suma de Riemann

La idea fundamental detrás de la integral definida es aproximar el área bajo una curva dividiéndola en una serie de rectángulos y luego sumando las áreas de estos rectángulos. A medida que el número de rectángulos aumenta hasta el infinito (y su ancho tiende a cero), la suma de sus áreas converge al valor exacto del área bajo la curva.

El proceso formal es el siguiente:

1. Partición del Intervalo: Se divide el intervalo [a, b] en n subintervalos [x_i-1, x_i], donde a = x₀ < x₁ < ... < x_n = b. Para simplificar, a menudo se utilizan subintervalos de igual ancho, Δx = (b-a)/n.
2. Puntos de Muestra: En cada subintervalo [x_i-1, x_i], se elige un punto de muestra c_i. La elección de c_i puede ser el extremo izquierdo (c_i = x_i-1), el extremo derecho (c_i = x_i), el punto medio, o cualquier otro punto dentro del subintervalo.
3. Formación de Rectángulos: Se forma un rectángulo para cada subintervalo, con un ancho de Δx y una altura de f(c_i). El área de cada rectángulo es f(c_i)Δx.
4. Suma de Riemann: Se suman las áreas de todos los rectángulos. Esta suma, R_n, se llama suma de Riemann.

El Límite como Integral

La integral definida de f(x) desde a hasta b es el límite de la suma de Riemann cuando el número de subintervalos, n, tiende al infinito.

∫_a^b f(x) dx = lim_n→∞ ∑_i=1ⁿ f(c_i)Δx

Este límite, si existe, es único e independiente de la elección de los puntos de muestra c_i.