Las integrales, tanto definidas como indefinidas, poseen propiedades algebraicas que facilitan enormemente su cálculo y manipulación. Estas propiedades se derivan directamente de las propiedades de las sumatorias y los límites.

1. Linealidad

La integral de una suma de funciones es la suma de sus integrales, y las constantes pueden salir fuera de la integral. Si f y g son funciones integrables y k es una constante:

• Suma/Resta: ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx
• Múltiplo Constante: ∫ k * f(x) dx = k * ∫ f(x) dx

Estas dos reglas combinadas forman la propiedad de linealidad, que es fundamental para descomponer integrales complejas en partes más simples.

2. Aditividad del Intervalo

Si una función es integrable en un intervalo que contiene los puntos a, b, y c, entonces la integral de a a c se puede dividir en la suma de la integral de a a b y la de b a c.

∫_a^c f(x) dx = ∫_a^b f(x) dx + ∫_b^c f(x) dx

Esta propiedad es muy intuitiva geométricamente: el área total es la suma de las áreas de sus partes. También implica que:

• ∫_a^a f(x) dx = 0 (El área sobre un punto es cero).
• ∫_a^b f(x) dx = - ∫_b^a f(x) dx (Invertir los límites de integración cambia el signo del resultado).

3. Propiedad de Comparación

Estas propiedades permiten comparar los valores de diferentes integrales sin necesidad de calcularlas explícitamente.

• No-negatividad: Si f(x) ≥ 0 para todo x en [a, b], entonces ∫_a^b f(x) dx ≥ 0.
• Dominancia: Si f(x) ≥ g(x) para todo x en [a, b], entonces ∫_a^b f(x) dx ≥ ∫_a^b g(x) dx.
• Acotación: Si m ≤ f(x) ≤ M para todo x en [a, b], entonces m(b-a) ≤ ∫_a^b f(x) dx ≤ M(b-a). Geométricamente, el área bajo la curva está acotada por las áreas de dos rectángulos.