Antiderivada o Primitiva

Sea una función f definida en un intervalo I. Una función F se denomina antiderivada o primitiva de f en I si F'(x) = f(x) para todo x en I.

Si F es una antiderivada de f, entonces cualquier otra antiderivada G de f tiene la forma G(x) = F(x) + C, donde C es una constante real. Este conjunto de todas las antiderivadas se denomina integral indefinida.

Integral Definida (Integral de Riemann)

Sea f una función acotada definida en un intervalo cerrado [a, b]. Sea P = {x₀, x₁, ..., x_n} una partición de [a, b], donde a = x₀ < x₁ < ... < x_n = b.

Para cada subintervalo [x_i-1, x_i], sea Δx_i = x_i - x_i-1 y sea c_i un punto arbitrario en [x_i-1, x_i]. La suma de Riemann de f para la partición P es:

S(P, f) = ∑_i=1ⁿ f(c_i)Δx_i

La integral definida de f de a a b, denotada por ∫_a^b f(x) dx, es el límite de las sumas de Riemann cuando la norma de la partición ||P|| = max(Δx_i) tiende a cero, si este límite existe:

∫_a^b f(x) dx = lim_||P||→0 ∑_i=1ⁿ f(c_i)Δx_i

Si este límite existe, se dice que f es integrable en [a, b].